你是否曾想過計算一個點到另一個點，或一個城市與另一個城市之間的距離？你是否曾經想過距離的定義是什麼？我們有這些問題的答案，並會詳細解釋如何計算二維空間中的任兩個物體間的距離，還有一個關於我們如何感知距離的有趣話題(例如百分比差異)，相信你會喜歡。
距離是什麼？
在我們討論如何計算距離之前，我們應先弄清楚距離是什麼。最常見的意義是兩點之間(一維)的空間，這定義幾乎是所有人一聽到距離直覺會想到的解釋；但它其實不是討論距離的唯一方式。在下文中，你會了解距離的概念如何延伸到長度以外，某種程度上與愛因斯坦的相對論同樣具有突破性。
如果我們還是堅持想了解距離的幾何定義，首先我們需要先定義想要討論的空間類型。大多數情況下，我們討論的是三維或以下的維度，這是在我們大腦沒有爆炸的情況下能想像到的。這個「距離計算機」聚焦在2D的距離(包含1D的特例)。
想要求出兩點之間的距離，很顯然首先需要兩個點。這些點由它們在空間中的座標來描述。對2D空間中的每個點來說，我們就需要它們的座標。如果你希望找到1D空間中兩點之間的距離，還是可以使用本計算機，只需將這兩個座標的值中的X軸值或Y軸值設定為相同即可。
不過由於1D算是特例，所以從現在開始我們只討論2D的距離。接下來，如果你想更精確，就要先定義你所要研究的空間類型。別擔心，這比你想像中的簡單。如果你不知道你在研究哪個空間，甚至不知道有不止一種類型的空間，那麼你很可能在歐幾里得的空間中。
因為這是我們進行幾乎所有幾何運算的「預設」空間，也是我們為本計算機所設定的空間。讓我們更進一步的的研究歐幾里得空間：它是什麼？它有什麼性質？它為什麼這麼重要？
歐幾里得的距離公式
在我們接受任何深度數學訓練之前，歐幾里得空間或歐幾里得幾何是我們通常會想到的2D空間。在歐幾里得空間中，三角形的內角和永遠等於180º，正方形的所有內角永遠等於90º。
這是我們都認為理所當然的事情，但並非所有的空間都一樣。我們也不要將歐幾里得空間與多維度的空間混淆。在歐幾里得空間中，只要維度的數量是有限的，並且遵守歐幾里得規則，那麼維度可以想要多少就有多少。
我們不想讓你覺得空間的數學定義和歐幾里得空間的獨特之處很煩，因為這會把事情複雜化，而且沒辦法用簡單的距離計算機來解釋。但是我們可以提供一些常用的其他空間的例子，幫助你理解為什麼歐幾里得空間不是唯一的空間。另外，希望你能理解為什麼我們不費心去計算其他空間的距離。
我們向你展示的第一個例子有點難懂，但因為我們是物理學家，我們從這種非常重要的空間類型開始：閔考斯基空間。我們之所以選擇它，是因為它在物理學中非常常見，特別是在相對論、廣義相對論甚至相對論量子場論中都會使用到。這個空間與歐幾里得空間非常相似，但在一個非常關鍵的特性上有所不同：點積的加法，也稱為內積(不要與外積混淆)。
歐幾里得空間和閔考斯基空間都是數學家所說的平面空間。這意味著空間本身具有平坦的屬性；例如，任何兩點之間的最短距離始終是它們之間的直線。然而，還有其他類型的數學空間稱為彎曲空間，其中空間本質上是彎曲的，兩點之間的最短距離不是直線。
這個彎曲的空間在3D中很難想像，但對於2D，我們可以想像我們有一個2D空間，不是一個平面區域，而是一個2D空間，例如，彎曲成球體表面的形狀。在這種情況下，會發生非常奇怪的事情。從一個點到另一個點的最短距離不是直線，因為這個空間中的任何一條線都是彎曲的，因為空間的內在曲率。這個空間的另一個非常奇怪的特徵，就是一些平行線確實在某個點會相交。你可以通過將地球劃分為多個時區並在南北兩極相互交叉的經線處試著想像和理解它。
要注意，這在概念上與座標的改變非常不同。當我們採用標準的x、y、z座標並轉換為極座標、柱座標甚至球座標時，我們仍在歐幾里得空間中。當我們談論彎曲空間時，就其屬性而言，是一個非常不同的空間。在球座標中，即使很難用數字表示，但仍然可以存在一條直線，並且距離仍然以直線測量。
回到歐幾里得空間的距離公式；距離公式為：
√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
這與勾股定理有關：a²+b²=c²。在這裡，a和b是直角三角形的邊，c是斜邊。假設兩個點(x1,y1)和(x2,y2)是斜邊端點的座標。那麼距離方程中的(x₂-x₁)²對應於a²並且(y₂-y₁)²對應於b²。由於c=√(a²+b²)，你就明白為什麼這只是勾股定理的延伸。
在段加法假設中可以找到點與點之間距離的延伸應用，即當3個點在同一條線上時就可求出段長。
一個點到任何連續結構體的距離
我們剛才所看到的距離公式是標準的歐幾里得距離公式，但若仔細想一下，它似乎有些侷限性。我們不只是想求出兩點之間的距離，有時我們也想計算一個點到直線；或是一個點到圓的距離。這些情況下，首先需要定義使用這條直線或圓周上的哪個點來計算距離，然後再使用我們前面提到的距離公式上。
這時垂直線的概念就變得非常重要。點和連續物體之間的距離是通過垂直度來定義的。從幾何的角度來看，測量一個點到另一個點的距離的第一步是在兩個點之間創建一條直線，然後測量該段的長度。當我們測量一個點到一條線的距離時，問題就變成了「在這麼多可能的線中，我應該畫哪一條？」。在這種情況下，答案是：與第一條線垂直的點開始的線。在點是線的一部分的情況下，該距離將為零。對於這些一維情況，我們只能考慮點之間的距離，因為線代表整個一維空間。
這增加了在一些有趣的幾何例子中計算距離的限制。例如，我們可以將三角形高度的概念重新定義為簡單地從一個頂點到三角形對邊的距離。在這種情況下，三角形面積也會根據距離重新定義，因為面積是三角形高度的函數。
一個點到一條線的距離以及兩條線之間的距離
舉幾個二維空間中的例子，要計算一個點和一條直線之間的距離，我們可以逐步進行(計算從直線到該點的垂直線段並計算它的長度)或者我們可以簡單地使用「handy-dandy」這個方程式：d=|Ax1+By1+C|/√(A2+B2)；其中直線由Ax+By+C=0給出，點由(x1,y1)定義。
這裡唯一的問題是一條直線通常被給出為y=mx+b所以我們需要將這個方程式轉換為之前顯示的形式：y=mx+b→mx-y+b=0；所以我們可以看到A=m，B=-1和C=b。這使前面的等式具有以下值：d=|mx1-y1+b|/√(m2+1)。
對於兩條線之間的距離，我們只需要計算從一條線到另一條線並垂直於兩條線的線段的長度。有一個簡單的公式可以幫助我們：如果線是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，那麼d=|C2-C1|/√(A2+B2)。我們可以也轉換為斜率截距並獲得d=|b2-b1|/√(m2+1)對於線y=m1x+b1和y=m2x+b2的結論。
請注意，這兩條線需要平行，否則它們會在某個點接觸，而它們之間的距離d將等於0。這就是公式省略大部分下標的原因，因為對於平行線：A1=A2=A和B1=B2=B而在斜率截距形式平行線是那些m1=m2=m
除了垂直度，另一個關於距離的重要概念是中點。中點正好在兩個點的正中間。中點的定義為與每個參考點的距離相同的點。我們在後面的部分中會談到這個概念，但現在，我們把焦點先放在幾何學上。例如，一個圓或是球體中，任何直徑的中點始終是那個圓或球體的中心。
如何使用距離計算機求出距離
我們前面提過，距離可以有很多意思，所以這個計算機提供了一些不同的選項。你可以計算點與直線之間的距離、兩條直線之間的距離(必需是平行線)或空間中點與點之間的距離。在計算兩點間的距離時，你可以選擇一、二、三、或四維空間。四維空間聽起來很嚇人，但你不需要使用那個選項。你可以通過閱讀一些的資訊，並玩玩距離計算機來了解更多關於它的資訊。
我們還加入了在空間中定義3個不同點的可能性，你可以從中求出它們之間的3個距離的值；因此如果你有兩個以上的點，這個計算機就會大幅的節省你的時間。你在工作的維度數量決定描述一個點的座標數量，這就是為什麼當維度數增加時，距離計算機會要求你輸入更多的值。
儘管使用計算機非常簡單，但我們還是提供一個一步一步的解題方案。通過這種方式，你可以熟悉距離公式以及如何使用它(就像50年代，網際網路還沒出現時一樣)。現在我們來看一個例子：如何在二維空間中找到兩點之間的距離。
假設你有兩個座標(3,5)和(9,15)，並且你想要計算它們之間的距離。要計算這兩點之間的二維距離，請執行以下步驟：
- 將值輸入公式：√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
- 減去括號中的值。
- 將括號中的兩個數量平方後相加。
- 將得到的值開根號。
- 使用距離計算機複算結果。
手動計算示範如下：
√[(9-3)²+(15-5)²]=√[(6)²+(10)²]=√[36+100]=√136,
大約等於11.66。請注意，當你開根號時，會得到正值和負值的結果，但由於你計算的是距離，因此你只需要關心正值的結果；計算機會完成計算並提供結果。
真實世界中的案例：城市之間的行駛距離
我們來看一下距離計算機的應用之一。你可以使用「距離計算機」來制訂旅行計劃。假設你在A城市和A城市間旅行，而唯一會停留的點在C城市；A到B的路線垂直於B到C的路線。我們就可以確定從城市A到城市B的距離。
這裡的困難點是精準的計算城市之間的距離。一條直線(像我們在這個計算機中使用的)可能是一個很接近的近似值；但如果你不是走直線而是繞道，距離會差很多。在這種情況下，只需使用Google地圖或任何其他工具來計算沿路徑的距離，而不僅僅是計算從一個點到另一個點的距離。
距離算機可以計算物體與物體之間的直線距離，沒辦法算出沿途的路徑長度。但你仍可能對物體與物體之間的距離感興趣，例如天體之間的距離。
地球到月球和太陽的距離-天文距離
當我們觀察地球的內部距離時，很難不碰到一些問題，如這個空間的固有曲率(地球曲率並不是零)到地球上兩點之間的最大距離。因為這個原因，也因為在地球之外還有一個宇宙，有許多人對宇宙中的距離非常感興趣。由於我們沒辦法在星際之間旅行，所以我們把焦點聚集在天體間實際的歐幾里得距離。例如從地球到太陽或到月球的距離。
對於我們類人猿的大腦來說，這些距離是無法想像的。我們用盡腦力去了解地球的大小，更別說廣闊無垠的宇宙了。這非常困難，以至於我們需要使用科學計數法或光年作為如此長的長度距離單位。你在地球上可以做到的最長旅行只有幾千公里，而從地球到離我們最近的天文物體月球的距離是384,000公里。最重要的是，到我們最近的恆星的距離，即地球到太陽的距離，是150,000,000公里，或8光分左右。
當你將這些距離與距我們第二近的恆星(南門二)的距離(4光年)做比較時，它們看起來要近得多。如果想做更誇張的比較，可以把從紐約飛到雪梨需要20多小時、且只有16,000多公里，拿來與可觀測到的宇宙大小，即大約466億光年來比較。
這裡我們帶出了另外一個觀點，就是我們測量距離不使長度，而使用時間。因此我們將距離的概念延伸到其幾何意義之外。我們將在下一段探討這種可能性，因為我們將討論超越純粹幾何意義的距離的重要性和有用性。這是條非常有趣的道路，受到哲學的啟發，要把每個概念都做延伸至其具有普世意義，以及從顯而易見的物理理論中提到的空間和時間的排列，或任何其他可以測量的變量。
長度以外的距離
距離的概念通常是指幾何歐幾里得距離並和長度有關係。但你也可以將距離的定義延伸成表示兩件事之間的差異，然後你就打開了一個不同的世界。突然間，人可以決定什麼是測量兩件事之間距離的最佳方法，並量化的表示。最簡單的一步是思考兩個數字之間的距離，這不過是這些數字間的一維差距罷了。為了求出該距離，我們只要用一個數字減去另外一個數字，結果就是它們之間的差異，也就是它們之間的距離。
我們可以從這個數字與數字間距離跳到百分比與百比分間的差異或距離，在某些情況下可能會是更好的比較方式。我們不需要只保留百分比，如果你認為這是表示距離的最佳方式，我們可以將百分比轉換為分數。但到目前為止，我們仍然只是在一個抽象的概念中簡單地刪除了測量的單位，但如果我們完全使用不同的單位呢？
通過延伸距離的概念到接近差異的含義，我們可以根據度數或熱能，或其他的相關聯數值(如壓力)來計算兩個溫度之間的差異。但目前先不用這麼極端，先來看看如何將兩個點之間基於不同假設下得到的不同距離。回到行駛距離的例子，我們可以用時間取代長度來測量旅程的距離。在這種情況下，需要有一個假設來允許這樣的換算：運輸方式。
坐飛機10公里的時間和坐車所花的時間差很多；開車與騎自行車10公里所需時間也相差很多。但這個假設有時是明確的或公認的，例如當我們及時測量閃電距離，然後將其轉換為長度。這帶來了一個有趣的觀點，就是時間距離和長度之間的轉換因子就是我們所說的速率或速度(它們不完全相同)。說實在的，這裡的速度不必像重力下的自由落體等加速運動那樣保持固定值，或通過破壞及阻力將停止時間和停止距離聯繫起來，或者用極端的案件，如車禍的力量。
另一個可以找到奇怪距離單位的地方是固態物理學，其中一個粒子在材料內部的行進距離通常表示為相互作用或碰撞的平均值。該距離通過使用平均自由徑與長度相關聯，平均自由徑是一個粒子在相互作用之間行進的平均距離(以長度計)。如果想得更加奇特些，可以想想汽車從現值到未來價值的距離。價格之間的距離在這裡與汽車的折舊相關，因為轉換因子的不同，使得它與其他的距離計算比起來不再那麼枯燥。
我們不是想讓人大腦爆炸，所以先不需要思考這些方面；只需將本計算機用於2D空間中，計算基於長度的距離。如果你已經玩完了所有計算機，還是覺得無聊的話，可以再回來用哲學的觀點來思考距離。
關於距離的常見問題
1. 如何求出兩點之間的距離？
使用距離公式：√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]來求出兩點之間的距離
- 確定空間中兩個點的座標
- 以一個X軸的座標值減掉另一個X值座標值，並以同樣方法計算Y座標值
- 分別求兩個值的平方
- 將步驟3中所得的值相加
- 將步驟4所得的值開根號
如果你覺得用手算太麻煩，可以使用「距離計算機」輕鬆算出答案。
2. 距離是向量嗎？
距離並不是向量。點與點之間的距離是一個純量，即它只以值來定義。然而，位移是一個有值和方向的向量。所以A和B之間的距離與B到A的距離相同，但位移會根據它們的順序而有所不同。
3. Click 在距離中是什麼意思？
Click是英文中一公里的俚語，即0.62英里。它實際上是用「k」(Klick)做為開頭的，因為它源自單詞kilometer。Click是軍隊裡和摩托車手常見的字。
4. 什麼是距離公式？
距離公式是：√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。這適用於二維空間中的任意兩個點，第一個點的座標為(x₁,y₁)，第二個點的座標為(x₂,y₂)。如果你注意到它是畢達哥拉斯定理並且距離是斜邊，並且形成直角的兩個邊長度是x和y兩個點之間的差值，就可以輕鬆記住這個公式。
5. 如何求出向量的距離？
向量的距離就是它的大小。如果你知道它的組成部分：
- 求出X軸相減的值和Y軸相減的值，並求出它們的平方值
- 將步驛1的個值相加
- 求步驛2的平方根值
- 得到結果
如果你知道它的極座標表示，它將是一個數字和一個角度。這個數字是向量的大小，也就是它的距離。
6. 距離的國際單位是什麼？
國際單位制的距離單位是公尺(米)，縮寫為「m」。一公尺大約是3.28英尺。國際單位制中的其他常用單位包括公分(百分之一公尺或0.39英寸)和公里(一千公尺或0.62英里)等。
7. 從A到B的距離是多少？
從A到B的距離是從A到B的直線的長度。從B到A的距離與從A到B的距離相同，因為距離是純量，沒有方向性。
8. 距離的維度是多少？
距離是一維空間的度量。兩點之間的距離是它們之間一維空間的最短長度。如果你將距離除以時間，就會得出速度，它具有隨著時間變化的空間維度。
9. 光年是時間還是距離？
光年是用來測量距離的。一光年等於9.461⨉1012公里或5.879⨉1012英里，這是一條光束在完全真空的情況中，一年所行進的距離。
10. 如何用速度和時間求出距離？
- 距離可以用一個物體的速度和移動的時間來計算
- 確保速度和時間具有相容的單位(英里/小時、公里/秒等)；如果不是，要先把它們轉換為相容的單位
- 將時間乘以速度
- 求出距離