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工具城市

斜率計算機

使用這款斜率計算機,能幫你計算出笛卡爾座標系中兩點之間的斜率。

第一個座標點

第二個座標點

重置

相關數值
度(deg)
%

x 之間的距離 (Δx):

y 之間的距離 (Δy):

只要輸入笛卡兒座標系中的任兩個座標值,斜率計算機就可以幫你算出斜率(或稱坡度)。斜率基本上是一條線的傾斜度,它的數值可以是正的、負的、零或無意義。

在使用斜率計算機前,我們先來學習一下如何使用斜率公式來算出斜率。要找出這條線通過的任兩點的線性方程式,可以使用我們的「斜率截距計算機」。

如何找出斜率?

  1. 確定座標(x₁,y₁)和(x₂,y₂)後,就可以用公式算出這條通過(3,8)和(-2,10)直線的斜率。
  2. 把座標值輸入到公式中:(10-8)/(-2-3)。
  3. 將括號中的值相減後,得到結果是2/(-5)。
  4. 把負數符號移出,保留分數後,就可以得到這條線的斜率為-2/5。
  5. 使用斜率計算機檢查結果。

要求出一條線的斜率,需要有這條線上的任兩個座標值。在測量y座標的變化程度時(通常稱為「升降」);然後除以 x 座標的變化(通常稱為「平移」)。斜率的計算其實很簡單,只要會減法和除法就可以了。

要找出非線性函數的斜率,可以使用平均斜率變化公式。

 

斜率公式

斜率=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

當座標是整數時,我們可以很容易的用手來算直線的斜率。當座標的值很大,或值為小數點後幾位時,公式會更加的好用。

值得一提的是:水平線的坡度都是0,因為水平線的2個 y 座標的值是相同的。在套入公式後,分子之間的值相減的結果都是0;另一方面,垂直線會出現「無意義值的斜率」,因為2個 x 座標的值都一樣,相減也會得到0,這樣會導致公式出現除以0的錯誤。

 

其它相關話題

當得知一條直線的2個端點座標值,除了可以計算斜率外,也可以計算中點。中點是幾何學中的一個重要概念,尤其是當一個多邊形包在另一個多邊形裡,小多邊型的頂點會接到大多邊形中點時,就可以使用「中點計算機」,透過求出每個 x 座標的平均值和y座標的平均值後形成一個新的座標。

另外,線的斜率也可以用來確定一個三角形是否為直角三角形。如果三角形的任兩條邊的斜率相乘結果等於-1,那麼這個三角形就是直角三角形。我們可以用手算或使用「直角三角形計算機」來計算,還可以用「距離計算機」來算三角形的哪一邊最長。如果這是個直角三角形,也可以確定哪兩個邊是直角邊。

斜率計算機算出的斜率值,其前面的正負符號表示該條線是上升、下降、水平或是垂直的。如果線的方向從左下角移動到右上角,則為上升,因此為正值;如果從左上角到右下角時則為下降,則斜率為負值。

 

關於斜率的常見問題

1. 如何用方程式求出斜率?

用方程式來求斜率會因為方程式的形式不同而不同。如果方程的形式是 y=mx+c,那麼斜率就是 m。要找出其他多項式的坡度,需要將函數中的 x 進行微分。

2. 如何計算山坡的斜率?

  1. 當鳥類飛過時,用地圖來判斷山頂與山底間直線的距離。
  2. 用同一張地圖或 GPS 找出山頂和山底的海拔高度,並確保測量點與步驟1相同。
  3. 將兩個測量值轉換為相同的單位。如果你不確定的話,可以使用「工具城市長度轉換器」來轉換。
  4. 將兩點間的高度差除以距離差。
  5. 如果相除後所得的值是線性增加的,那麼這個值就是這座山的坡度;如果不是的話,在坡度變化更明顯的地方,再重複一次上面的步驟。

3. 如何算出斜坡的長度?

  1. 測量出斜坡頂部和底部的對應到 x 和 y 軸的差異。
  2. 如果只能測量出 x 值的變化,將此值乘以坡度(斜率),即可得出 y 值的變化。
  3. 確保兩個值的單位是一樣的。
  4. 用「畢達哥拉斯定理」來求斜坡的長度,首先將 x 的變化值和 y 的變化值各自平方。
  5. 將這兩個值相加。
  6. 把步驟5所得到的值開根號。
  7. 得到的值就是斜坡的長度。

4. 20分之1的斜率是什麼意思?

1/20的斜率是指:在同一個水平上,每經過20個單位就上升1個單位。因此,一個200英尺長和10英尺高的坡道,斜率就是1/20。1/20的斜率相當於1/20的坡度(很奇怪),並與 x 軸間的角度呈2.86度。

5. 如何求曲線的斜率?

曲線中的斜率在每個點都在變化,這時要通過微分有關 x 值的方程式才能得出斜率;並在得出的方程式中,將 x 替換成想要找出斜率的點來求出斜率。

6. 變化率與斜率相同嗎?

圖表的變化率就是它的斜率。可以通過將 y (垂直)軸的變化值除以 x (水平)軸的變化值求出變化率(當然單位要一樣)。如果想預測某事物未來的值,則變化率很有用;因為只要更改變數 x,就可得出相對應的 y 值,反之亦然。

7. 在日常生活中的哪些地方會使用到斜率?

斜率在日常生活中有許多用途。最明顯的例子就是每座山都有個坡度,山越陡峭,則坡度就越大。如果你想找到一條擁有陡峭斜率的山坡來騎自行車,那麼就可以使用斜率計算機來計算。你也有可能在一個斜屋頂上小睡片刻,屋頂的斜率會根據不同的屋頂形式而變化。但更重要的是,如果你想知道某些事物如何跟隨著時間變化,那麼你就會需要畫一個有斜率的圖形來表示。

8. 10%斜率是什麼?

10%的斜率是指經過10個水平單位就上升1個單位的意思;例如一個斜率為10%、橫跨20公尺的屋頂,它的高度就是2公尺。這與1/10的坡度相同;而這條線與 x 軸間會呈5.71度的夾角。

9. 如何求出斜坡下的面積?

要求斜坡下的面積,需要對方程式進行積分並從其上邊界中減去該區域的下邊界。對線性方程式來說:

  1. 將方程代入代數 y=mx+c 中。
  2. 把 x 的值+1代入後得出的新代數(例如:x 變為 x2,x2.5變為x3.5)。
  3. 將 m 除以加了 1 後 x 的新值後,放在新的x前面。
  4. 將 c 乘以 x 並代入步驟2的新代數中。
  5. 解兩次新代數,一個 x 是你想找出區域的上邊界,另一個 x 則是你想找出區域的下邊界。
  6. 承步驟5,當上邊界減去下邊界後,就可以得到答案了。

10. 5比1的斜率是多少度?

5比1的斜率是水平方向每增加5個單位,就上升1個單位。5比1的斜率與 x 軸之間的度數為11.3度。這個角度可以透過先計算斜率,將 y 方向的變化除以 x 方向的變化後,再以該斜線的逆正切函數得出。